Movimiento Browniano

El movimiento browniano es uno de aquellos temas olvidados, que apenas aparece en los libros de texto; pero que fue la primera prueba concluyente de la hipótesis atómica y que, además, hizo que cambiáramos el modo en que entendemos hacer ciencia.

El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown biólogo y botánico quien lo observa en 1827 este fenómeno, él observo que pequeñas partículas de polen se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón aparente. En 1785, el mismo fenómeno había sido descrito por Jan Ingenhousz sobre partículas de carbón en alcohol.

La comunidad científica ignoró el movimiento browniano durante décadas. Los que lo observaban lo consideraban una molestia y la mayoría de los botánicos y zoólogos persistían en la idea del movimiento vital. No obstante, la cosa iba a cambiar. Ludwig Christian Wiener era un profesor que daba clases de matemáticas y geometría en universidades alemanas. En 1863 repitió los experimentos de Robert Brown e hizo una hipótesis muy especulativa: que todo ese movimiento era explicable si el líquido en el que se retorcían las partículas brownianas estaban compuestos de furiosos átomos que las chocaban por todas partes.

Allá por los años 1860, el físico escocés James Clerk Maxwell había propuesto una impresionante explicación de las propiedades de los gases a base de partículas moviéndose al azar. Maxwell había aprendido toda esa estadística leyendo al matemático belga Adolphe Quetelet, quien había clasificado los índices de criminalidad en Francia de acuerdo con la edad, educación, clima de la localidad en la que se sufría el crimen y la época del año en que se producía; lo que había sido el principio de la aplicación de los métodos estadísticos a las ciencias demográficas y sociales. En seguida surgió la sospecha de que las partículas del líquido, al moverse al azar, podrían empujar en uno y otro sentido a las partículas más gruesas en suspensión.

Vamos al año 1905 cuando entra en escena un hombre de 26 años. Trabajaba en una casa de patentes en Berna porque había sido incapaz de conseguir una posición académica. Este gran sabio llegó a sentirse fascinado por las densas y prolijas monografías de Boltzmann. También él se dio cuenta que una partícula lo bastante pequeña sumergida en un líquido rebotaría por todas partes a causa de las colisiones moleculares. Se preguntó si el movimiento de una partícula suficientemente grande como para ser vista al microscopio podría constituir una prueba directa de la existencia de los átomos.

Otros científicos anteriores habían visto que una partícula browniana tenía que tener, por término medio, la misma energía de movimiento que las moléculas del líquido en las que estaban suspendidas. Esas moléculas de líquido con masa mucho menor se moverían por todas partes a toda velocidad, mientras que las partículas brownianas avanzaban de forma mucho más torpe. Por supuesto, había que aplicar estadística. Resumiendo, había que encontrar una relación matemática entre la velocidad media de una molécula de líquido (que se movía muy deprisa) y la velocidad media de la molécula browniana (que se movía más despacio). Recordemos, además, que el movimiento browniano es mayormente errático

Einstein siguió otro camino, como tantas veces hizo. Trazó un círculo imaginario alrededor de una molécula y se preguntó cuánto tardaría, por término medio, en alcanzar el borde de dicho círculo. De este modo, obtuvo un resultado teórico que podía ser sometido a experimentación. Estos resultados fueron publicados en 1905 junto a otros famosos ensayos, entre ellos la Teoría Especial de la Relatividad y otras provocadoras ideas sobre la naturaleza corpuscular de la luz.

Según su fórmula, las partículas suspendidas en un vaso alto de líquido debían reflejar, en su distribución, el equilibrio entre la fuerza gravitatoria y el efecto del movimiento browniano. Si actuase sólo la gravedad, todas las partículas se irían al fondo. Si sólo actuase el movimiento browniano, se esparcirían con uniformidad. Bajo la acción de ambos fenómenos deberían esparcirse concentrándose hacia el fondo cada vez con más densidad.

Einstein era un teórico y se conformó con obtener la ecuación. Tres años después, en 1908, el físico francés Jean Perrin suspendió en agua granitos de resina y de goma y contó el número de granos a distintos niveles. Halló que ese número crecía hacia abajo. Y lo mejor de todo: concordaba exactamente con lo predicho por la ecuación de Einstein.

También obtuvo, además, una medida razonablemente aproximada del peso real de las moléculas sueltas. El antiatomista Ostwald se enfrentó entonces con un experimento observable, producido por moléculas individuales. No pudo seguir negando la existencia de los átomos.

Perrin recibió por su trabajo el premio Nobel de Física en 1926. Einstein había recibido el suyo en 1921, por otros méritos.

Por primera vez un razonamiento estadístico permitía a los físicos hablar sobre el comportamiento de multitudes de átomos sin conocer el comportamiento de cada uno por separado. Incluso aunque su observación estuviera más allá de sus posibilidades. O sea, que podíamos conocer el edificio sin saber cómo eran los ladrillos.

Modelación del movimiento browniano

La definición matemática de esta definición corresponde a la ecuación que gobierna la evolución temporal de la función probabilística de densidad asociada con la ecuación de difusión de una particula browniana, en definitiva es una ecuación diferencial parcial.

La evolución temporal de la posición de una particula browniana en si misma puede ser descrita aproximadamente por una ecuación de Langevin, una ecuación que envuelve un campo de fuerzas aleatorias representando el efecto de fluctuaciones termales de una solución de particulas brownianas. En largas escalas de tiempo, el movimiento browniano matematico es descrito perfectamente con la ecuación de Langevin. A tiempos cortos, los efectos de la inercia prevalecen en esta ecuación. Sin embargo se considera a esta ecuación, de otra manera la ecuación se vuelve singular, así que se debe remover al termino de la inercia de esta ecuación para tener una descripción exacta, pero el comportamiento singular de estas particulas no se describe del todo.

Otras maneras de conseguir su modelo matemático considerando a un movimiento browniano un proceso de Gauss central con una función covariante para toda . El resultado de un proceso estocástico es atribuido a Norbert Wiener, que se demostro en la teoría de probabilidad existente desde 1923, y se la conoce por el nombre de proceso de Wiener. Muchos detalles importantes se las encuentra en sus publicaciones.

Hay muchas posibilidades de construir un movimiento browniano:

• La construcción abstracta por medio de esquemas de Kolmogórov, donde el problema viene con el aumento (o camino creciente).
• La costrucción de Lèvy-Ciesielski: se induce este movimiento con ayuda de un sistema de Haar de C([0,1]) a una base de Schauder y se lo construye como un proceso estocástico con curva creciente.
• Sea Z₀, Z₁, … independiente, distribuida idénticamente y con distribución normal . Luego:

es un movimiento browniano.

Este movimiento juega un rol importante también en la simulación de la cotización de las acciones.

Podéis entrar en el siguiente enlace para ver una simulación en Java de éste movimiento:

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/term_browniano/gas2D_s.htm